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04.06.2011 06:57

Unidad 1 y 2 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.

Dentro de este blog podras encontrar todo lo referente a la unidad uno lo cual nos ayuda un buen para recapitular temas vistos y como fue el progreso dentro de estas unidades.

 

 

Vimos que cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) ³ 0 en [a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación:

= cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b.

Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o  equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, F(b) - F(a). Podemos definir {short description of image}= F(b) - F(a).

Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar:

Si v(t) es el volumen de agua de un depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así {short description of image} = v(t2) - v(t1) es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t1 y t2.

Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera  = [c](t2) - [c](t1) es el cambio en la concentración [c] desde el instante t1 hasta el t2.

Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) entonces la densidad lineal es r (x) = m'(x). De esta manera = m(b) - m(a) es la masa del segmento de la varilla entre x = a y x = b.i la tasa de crecimiento de una población es  entonces = p(t2) - p(t1) es el aumento de población durante el período desde t1hasta t2.

Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artículo, entonces el costo marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente = c(x2) -c(x1) es el incremento en el costo cuando la producción aumenta desde x1 hasta x2 unidades.

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con función de posición s(t) , entonces su velocidad es v(t) = s'(t) de modo que = s(t2) -s(t1) es el cambio de la posición, o desplazamiento, de la partícula durante el período desde t1 hasta t2.

Dado que la aceleración de un objeto es a(t) = v'(t), podemos asegurar que la expresión

 = v(t2) - v(t1) es el cambio en la velocidad en el instante t1 hasta el t2.

La potencia P(t) indica la razón de cambio de la energía E(t). Esto permite decir que P(t) = E'(t) y por lo tanto resulta  = E(t2) - E(t1) indica la energía utilizada en el tiempo entre t1 y t2.

 

La definición que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar la integral de funciones sencillas pero en la mayoría de los casos el cálculo del límite de sumas resulta complicado.

 

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO FUNCIÓN

Sea f una función continua en un intervalo [a, b]. Definimos una nueva función g dada por g(x) = donde a £ x £ b. Se observa que g sólo depende de x, variable que aparece como límite superior en el cálculo de la integral.

Si x es un número fijo, entonces la integral  es un número definido. Si hacemos que x varíe, el número  también varía y define una función que depende de x.

La integral como función

La integral como número

Analicemos una función continua f(x) siendo f(x) ³ 0.

Podemos decir que g(x) =  se puede interpretar como el área debajo de la gráfica de f desde a hasta x, donde x puede variar desde a hasta b (se debe pensar en g como la función "el área hasta").

 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Primera Parte

Si f es una función continua en [a, b] entonces la función donde a £ x £ b es derivable y verifica A' (x) = f(x) para todo x del intervalo.

Demostración: Queremos calcular 

Pero según la definición de A(x) resulta: {short description of image}

De aquí el numerador:  (1)

Por propiedades de la integral definida 

Reemplazando en (1), surge 

Es decir y por lo tanto:

Si observamos el siguiente gráfico, vemos que:

De aquí surge que si m es el mínimo valor y M es el máximo que toma la función en el intervalo [x, x+h], el área de la región sombreada estará comprendida entre el área del rectángulo de base h y altura m, y el área del rectángulo de base h y altura M.

El área sombreada es m . h

El área sombreada es 

El área sombreada es M . h

Suponemos h > 0 (se demuestra de manera análoga para h < 0).

Dividiendo por h, resulta: .

Pero cuando h ® 0, el intervalo [x, x+h] tiende a reducirse a un único punto x y por lo tanto los valores m y M tienden a f(x).

Por lo tanto: 

Luego 

 

Segunda Parte

Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y F una primitiva cualquiera, entonces:

 

Demostración:

Según la primera parte del teorema

Si F(x) es otra primitiva, se tiene que A(x) = F(x) + k

Si x toma el valor a, se verifica que A(a) = F(a) + k pero como  entonces F(a) = -k  y A(x) = F(x) - F(a).

Si además sustituimos x por b, resulta A(b) = F(b) - F(a) , es decir: 

 

Si F es cualquier primitiva .

A esta forma práctica de trabajo se la conoce como REGLA DE BARROW.

.

 

Ejemplo: Determine el valor de 

Tomadas juntas las dos partes del teorema fundamental expresan que la derivación y la integración son procesos inversos.

Se puede decir, en un lenguaje coloquial que cada una "deshace lo que hace la otra".

Observación: el teorema fundamental del cálculo no requiere que la función sea positiva. Sirve para evaluar las integrales definidas y muestra la estrecha relación existente entre la derivada y la integral.

 

La integral definida como función y la regla de Barrow a través de un ejemplo.

Halle la función F(x) =  en x = 0, , 1, y 2.

Podemos hallar el valor de cada una de las cinco integrales definidas cambiando por los límites superiores pedido, pero es mucho más sencillo fijar x (como una constante temporalmente) y aplicar el teorema fundamental del cálculo con lo que obtenemos.Resulta la función F(x) =  =  =  que se debe evaluar en los distintos valores de x solicitados.

Si derivamos se obtiene F'(x) == f(x) que coincide con el integrando.

 

Ejemplo: Encuentre el valor de a si se sabe que 

Integrando y aplicando la regla de Barrow obtenemos:

= = {short description of image}

Igualando y despejando a resulta: {short description of image} = {short description of image} Þ {short description of image} = {short description of image} Þ a = 2

 

Ejemplo: Halle  si f(x) = .

La función f(x) es por tramos, en consecuencia:

 =  = 

 = (1- 0) + = .

 

 

 a continuacion les dejamos unos linck´s q facilitaran y mejoraran el etendimiento a esto

https://www.youtube.com/watch?v=zK2_5Oh3d-E&feature=related


https://www.youtube.com/watch?v=uej2rvtHC_Q&feature=related

 https://www.youtube.com/watch?v=PDTheIwMmJ0

 

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04.06.2011 01:28

unidad 9,10 y 11 SERIES.

 

Definición

Sucesión

Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).

Ejemplo:

an = 1/n

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Definición

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n naturalan <= an+1 (a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an).

Ejemplo:

an = n es monótona creciente.

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, ...

Definición

Sucesión monótona decreciente

Una sucesión es monótona decreciente si se cumple que para todo n naturalan >= an+1 (a1 >= a2 >= a3 >= ... >= an).

Ejemplo:

an = 1/n es monótona decreciente.

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Límite finito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = 1/n.

a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1

A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.

Sucesión con límite 0

Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.

Definición

 

Límite finito

lim an = a <=> para todo ε>0 existe N natural / para todo n > Na - ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.

Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = n2.

a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000

Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito.

Definición

Límite infinito

lim an = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.

Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.

Del mismo modo se define lim an = -inf <=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an < K.

Definición

Convergencia y divergencia

Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.

La sucesión an = 1/n converge a 0.
La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.

Propiedades del límite finito de sucesiones

Unicidad del límite

Si una sucesión tiene límite es único. 

H) lim an = b
T) b es único

Demostración:

La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.
Suponemos que b > c.

lim an = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n1natural / para todo n > n1 b - ε < an < b + ε;

lim an = c => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n2natural / para todo n > n2 c - ε < an < c + ε

Consideremos un ε tal que c+ε < b-ε, o sea ε < (b - c)/2

Sea N = max {n1,n2}

Para todo n > N se cumple

  • b - ε < an < b + ε
  • c - ε < an < c + ε

Absurdo, pues an no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Límite de la sucesión comprendida

Si una sucesión está comprendida entre otras dos que tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite.

H) lim an = lim bn = p
    Para todo n > n0 an <= cn <= bn
T) lim cn = p

Demostración:

lim an = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε1 > 0 existe n1natural / para todo n > n1 p - ε1 < an < p + ε1

lim bn = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε2 > 0 existe n2natural / para todo n > n2 p - ε2 < bn < p + ε2

Sea N = max {n0, n1, n2}

Para todo n > N se cumple p-ε1 < an <= cn <= bn < p+ε2

p-ε1 < cn < p+ε2

Sea ε = min {ε1, ε2}

Para todo n > N p-ε < cn < p+ε

=> (por def. de límite de una sucesión) lim cn = p.

Operaciones con límites

El límite de la suma, producto y cociente de sucesiones se determina por las mismas reglas que para las funciones de variable continua. Las demostraciones son iguales, basta sustituir f(x) por an y considerar que la tendencia siempre es hacia +infinito. Aquí sólo demostraremos el límite de una suma. Para ver las demás reglas visitar la página sobre operaciones con límites.

Límite de la suma

 

Si dos sucesiones tienen límite finito, entonces su suma tiene límite finito y es igual a la suma de esos límites.

H) lim an = a, lim bn = b
T) lim an + bn = a + b

Demostración:

Queremos probar que, dado ε > 0, existe N > 0 tal que para todo n > N|(an + bn) - (a+b)| < ε.

Sea ε' = ε/2

lim an = a => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n0natural / para todo n > n0 |an - a| < ε'.

lim bn = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n1natural / para todo n > n1 |bn - b| < ε'.

Sea N = max {n0, n1}

Para todo n > N se cumple:

  • |an - a| < ε'
  • |bn - b| < ε'

=> |an - a| + |bn - b| < 2ε' = ε

|(an + bn) - (a+b)| = |(an - a) + (bn - b)| <= (*) |an - a| + |bn - b| < ε

(*) Desigualdad triangular: |x + y| <= |x| + |y|

Resumiendo, dado ε>0 existe N / para todo n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε

=> (por def. de límite finito de una sucesión) lim an + bn = a + b

Definición

Sucesiones equivalentes

Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando el límite de su cociente es 1.

Definición

 

Sucesión acotada

M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.

Teorema

 

Toda sucesión monótona y acotada converge.

H) an monótona
    Existen m y M / m < an < M para todo n.
T) lim an = b

Demostración:

Queremos probar que existe N / para todo n > N |an - b| < ε.

Supongamos que an es creciente (si suponemos que es decreciente, la demostración es análoga).

an < M para todo n

Es decir que el conjunto de todos los términos de la sucesión S = {a1, a2, a3, ...}tiene extremo superior (la menor de las cotas superiores), llamémosle b.

Sea ε>0

b - ε no es cota superior de S pues es menor que el extremo superior

=> existe N / aN > b-ε.

an es creciente => para todo n > N an >= aN => an > b-ε => -(an - b) < ε (1)

 

b+ε también es cota superior de S

=> para todo n an < (b+ε) => => an - b < ε (2)

 

=> De 1) y 2) para todo n > N |an - b| < ε

Teorema

Toda sucesión convergente es acotada.

H) an convergente
T) an acotada

Demostración:

an es convergente, eso significa que tiene límite finito: lim an = a

=> (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe N / para todon > N a-ε < an < a+ε

=> (por def. de sucesión acotada) an está acotada.

Nota: El recíproco no es cierto. Que una sucesión esté acotada no implica que sea convergente.

Contraejemplo: an = (-1)n está acotada pero no es convergente.

-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...

Definición

 

Par de sucesiones monótonas convergentes

((an),(bn)) es un par de sucesiones monótonas convergentes si
a) an es creciente y bn decreciente.
b) Para todo n natural an <= bn
c) Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε

Par de sucesiones monótonas convergentes

Ejemplo:

an = -1/n, bn = 1/n

 

  • an es creciente.

    Debemos probar que an+1 >= an, o sea an+1 - an >= 0

    -1    -1    -n + n + 1     1
--- - --- = ---------- = ------ > 0
n+1    n      n(n+1)     n2 + n
  • bn es decreciente.

    Debemos probar que bn+1 <= bn, o sea bn - bn+1 >= 0

     1     1    n + 1 - n     1
--- - --- = --------- = ------ > 0
 n    n+1     n(n+1)    n2 + n
  • Para todo n an < bn 
    -1     1
--- < --- pues -n < n para todo n.
 n     n
  • Dado ε>0, existe h / bh - ah < ε 
     1    -1     2                          
--- - --- = --- < ε 
 h     h     h

    Para que se cumpla basta tomar un h > 2/ε

    Propiedad

    Todo PSMC tiene frontera

    ((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- ylim bn = c+.

    lim an = c- significa que an se aproxima a c por la izquierda, y lim bn = c+ significa que bn se aproxima a c por la derecha.

    Frontera de un PSMC

    El número e

    A menudo un número a se describe por medio de una sucesión infinita an de aproximaciones; esto es, el valor a está dado por el valor an con cualquier grado de precisión deseado si el índice n se elige suficientemente grande.

    Este es el caso del número e (e = 2,718281...), que puede definirse como el límite de la sucesión an = (1 + 1/n)n o de la sucesión bn = (1 + 1/n)n+1.

    Probaremos que estas sucesiones forman un PSMC.

  • an es creciente.

    Demostración:

    Utilizando la fórmula del binomio de Newton, podemos expresar (1+1/n)n como:

                                                              
                   n  n               n     n!        
an = (1 + 1/n)n  = Σ Ci.1n-i.(1/n)i = Σ   ---------- 
                  i=0                i=0 (n-i)!i!ni   

                                                            
                       n+1 n+1                  n+1    (n+1)!
an+1=(1 + 1/(n+1))n+1 = Σ  Ci.1n+1-i.(1/(n+1))i = Σ  ----------------
                       i=0                      i=0 (n+1-i)!i!(n+1)i

    El desarrollo de an+1 tiene un término más que el de an y cada término es positivo. Si probamos que cada sumando de an es menor o igual que el correspondiente de an+1 probaremos que an es creciente.

       n!       ?      (n+1)!
---------- <= ---------------
(n-i)!i!ni    (n+1-i)!i!(n+1)i

n(n-1)...(n-i+1)  ? (n+1)(n)...(n+1-i+1)  --> i factores
---------------- <= --------------------
    n.n....n         (n+1)(n+1)...(n+1)   --> i factores
	
(n-1)   (n-i+1)  ?  n    n+1-i+1
-----...------- <= ---...-------
  n	   n       n+1     n+1
  
      1          i-1   ?       1          i-1
(1 - ---)...(1 - ---) <= (1 - ---)...(1 - ---)
      n           n           n+1         n+1

    Cada factor es de la forma 1 - p/n donde p es el mismo en ambos miembros.

    1 - p/n < 1 - p/(n+1)

    Entonces cada factor del primer miembro es menor que el correspondiente del segundo.

    Por lo tanto, cada sumando del desarrollo de an es menor que el correspondiente de an+1.

    => an es creciente.

  • bn es decreciente. 
    bn = (1 + 1/n)n+1
bn+1 = (1 + 1/n+1)n+2 = (1 + 1/n+1)n+1.(1 + 1/n+1)
     ?
bn+1 <= bn
                           ?
(1 + 1/n+1)n+1.(1 + 1/n+1) <= (1 + 1/n)n+1

 (1 + 1/n)n+1   ?      1
-------------- >= 1 + ---
(1 + 1/n+1)n+1        n+1

   n+1/n   n+1   ?      1
( ------- )     >= 1 + ---
  n+2/n+1              n+1

  n2 + 2n + 1  n+1  ?      1
( ----------- )    >= 1 + ---
    n2 + 2n               n+1    
  
         1    n+1  ?      1
( 1 + ------- )   >= 1 + ---		
      n2 + 2n            n+1

    A CONTINUACION UNOS VIDEOS PARA PODER ENTENDER MEJOR ESTO:
https://www.youtube.com/watch?v=zXPqxtbbd_M  https://www.youtube.com/watch?v=QVzr3DdC8bE

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    04.06.2011 01:15

    Unidad 6,7 y 8 APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

     

    Volumen de sólidos de revolución

     

      Definición
     

    Sea $f$ una función definida en el intervalo $[a,b]$.

    Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje $x$, la región limitada por la gráfica de $y=f(x)$, el eje $x$ y las gráficas de $x=a$ y $x=b$. El eje $x$ es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje $x$ es un círculo.

     

     
     

     

     

    Volumen de sólidos de revolución

     
      Definición
     

    Sea $f$ una función definida en el intervalo $[a,b]$.

    Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje $x$, la región limitada por la gráfica de $y=f(x)$, el eje $x$ y las gráficas de $x=a$ y $x=b$. El eje $x$ es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje $x$ es un círculo.

     

     

     

    Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

    Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área $A$ de la base por el espesor $d$ (o altura).

     

    Consideremos una partición $P_n$ del intervalo $[a,b]$ determinada por el conjunto de números 

    \begin{displaymath}\{ x_0,x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i,\dots,x_{n-1},x_n \},\end{displaymath}

    donde $\Delta x_i=x_{i-1}-x_i$, con $i\in\{1,2,3,\dots,n\}$.

    Sea $T_n=\{t_1,t_2,\dots,t_n\}$ un aumento de $P_n$.

     

     

     

    Volumen de sólidos de revolución

     
      Definición
     

    Sea $f$ una función definida en el intervalo $[a,b]$.

    Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje $x$, la región limitada por la gráfica de $y=f(x)$, el eje $x$ y las gráficas de $x=a$ y $x=b$. El eje $x$ es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje $x$ es un círculo.

     

     

     

    Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

    Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área $A$ de la base por el espesor $d$ (o altura).

     

    Consideremos una partición $P_n$ del intervalo $[a,b]$ determinada por el conjunto de números 

    \begin{displaymath}\{ x_0,x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i,\dots,x_{n-1},x_n \},\end{displaymath}

    donde $\Delta x_i=x_{i-1}-x_i$, con $i\in\{1,2,3,\dots,n\}$.

    Sea $T_n=\{t_1,t_2,\dots,t_n\}$ un aumento de $P_n$.

    Consideremos ahora los $n$ discos circulares, cuyos sensores son$\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_i,\dots,\Delta x_n$, y cuyas bases tienen radios$f(t_1),f(t_2),\dots,f(t_i),\dots,f(t_n)$.

     

     

    El volumen del $i-$ésimo disco es: 

    \begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
     

    La suma 

    \begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

    de los volúmenes de los $n$ discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución.

    Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición:
     


    Si existe un número $V$ tal que dada $\epsilon>0$ exista $\delta>0$ para la cual 

     

    \begin{displaymath}\left\vert\sum_{i=1}^n\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i-V\right\vert<\epsilon\end{displaymath}

     

    para toda partición $P_n$ de $[a,b]$ y todo aumento $T_n$ de $P_n$, y con $N_p<\delta$, este número $V$ es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de $y=f(x),\;y=0,\;x=a,\;x=b$ alrededor del eje $x$.

    Si $h$ es la función dada por $h(x)=\pi[f(x)]^2$ para $x\in[a,b]$, entonces la suma de aproximación: 

     

    \begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

    utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como: 

    \begin{displaymath}\sum_{i=1}^nh(t_i)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

    donde $t_i\in[x_{i-1},x_i],\;\Delta x_i=x_{i-1}-x_i$.

    Luego, de la definición de integral y de la definición de $V$ dada, se tiene que 

     

    \begin{displaymath}\displaystyle V=\int_a^bh(x)\,dx=\int_a^b\pi[f(x)]^2\,dx\end{displaymath}
     
     
     

    Consideremos ahora dos funciones $f$ y $g$ continuas en el intervalo cerrado $[a,b]$, tales que $f(x)\geq g(x)$ para $x\in[a,b]$. Sea $R$ la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones $y=f(x),\;y=g(x)$ y las rectas con ecuaciones $x=a,\;x=b$.

     

     

    Deseamos determinar el volumen $V$ del sólido de revolución generado al girar la región $R$ alrededor del eje $x$ (note que en este caso no giramos la región $R$alrededor de una de sus fronteras).

    El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

     

     

     

     

    Sea $P_n$ una partición del intervalo $[a,b]$ determinada por el conjunto de números$\{x_0,x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i,\dots,x_n\}$ con $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ para $i\in\{1,2,\dots,n\}$, y sea$T_n=\{t_1,t_2,\dots,t_i,\dots,t_n\}$ un aumento de $P_n$.

    En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.

    Se muestra a continuación el $i-$ésimo rectángulo y el $i-$ésimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje $x$.

     

     

    Luego, el área del anillo circular es: 

    \begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2-\pi[g(t_i)]^2\end{displaymath}

    por lo que el volumen del $i-$ésimo elemento sólido será: 

    \begin{displaymath}\Delta V_i=\pi\big([f(t_i)]^2-[g(t_i)]^2\big)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

    Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es: 

    \begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi\big([f(t_i)]^2-[g(t_i)]^2\big)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

    Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido.

     

      Definición
     

    Si existe un número $V$ tal que dada $\epsilon>0$ exista $\delta>0$ para la cual
    \begin{displaymath}\displaystyle \left\vert\sum_{i=1}^n\pi\big([f(t_i)]^2-[g(t_i)]^2\big)\Delta x_i-V\right\vert<\epsilon\end{displaymath}
     
     

    para toda partición $P_n$ de $[a,b]$ y todo aumento $T_n$ de $P_n$, y con $N_p<\delta$, este número de $V$ es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$, alrededor del eje $x$.

     

     

    Si $h$ es la función dada por $h=\pi\big([f(x)]^2-[g(x)]^2\big)$ para $x\in[a,b]$, entonces la suma de aproximación 

    \begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi\big([f(t_i)]^2-[g(t_i)]^2\big)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
     

    utilizada en la definición 8, puede escribirse como: 

    \begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^nh(t_i)\,\Delta x_i\end{displaymath}

    donde $t_i\in[x_{i-1},x_i]$, $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$.

    Luego se tiene que: 

    \begin{displaymath}V=\displaystyle \int_a^bh(x)\,dx=\int_a^b\pi\big([f(x)]^2-[g(x)]^2\big)\,dx\end{displaymath}

     

    —————

    04.06.2011 00:31

    Unidad 3,4 y 5 INTEGRAL DEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION.

     LA INTEGRAL

    1. La integral indefinida

    Funciones primitivas

    Definición. Sea f una función, se dice que F, función derivable, es una primitiva de f si se verifica F ’=f

    Ejemplo 1. Si f(x)= 3x2 una primitiva es F(x)= x3. Otra G(x)= x3+7

    Proposición.1. Si F es una primitiva de f entonces F+C también lo es.

    En efecto ya que  (F+C)’=F’+C’= F’ +0= f

    Proposición.2.Si una función f tiene derivada nula en un intervalo entonces f es constante. (se admite sin demostración)

    Teorema. Si F1 y F2 son primitivas de f, entonces se diferencian en una constante, es decir F1= F2+C

    Demostración

    Si F1 es primitiva de f Þ F1’(x)= f(x); si F2 es primitiva de f Þ F2’(x)= f(x)

    Luego F1’(x)- F2’(x)= 0 Þ F1-F2= C

    Consecuencia. Dada una primitiva F de f, el conjunto de sus primitivas es F+C. A dicho conjunto se le llamará la integral indefinida de f y se escribirá  ó .

    A f(x) se le llama integrando y al símbolo , símbolo de integración.

    Propiedades de la integral indefinida (Linealidad)

    1) 

    Es consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas

    2) 

     

    Es consecuencia de que si F es primitiva de f Þ  kF es primitiva de kf, pues (kF)’= kF’= kf

    2. Integrales inmediatas

    Tabla de primitivas (hacerla teniendo en cuenta la de derivadas y su relación)

    Integrales inmediatas (o casi inmediatas)

    Llamamos así a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado.

    Ejemplo 2. a) ; b) 

    Ejercicio 1. Calcula las siguientes integrales inmediatas:

    a) ; b) ; c) ; d) 

     

    3. Métodos de Integración

    I). Método de descomposición

    Se basa en la linealidad de la integral indefinida

    Ejemplo.3 =+C

    Ejercicio.2. Calcula .

    II). Integración por partes.

    Se basa en la fórmula de la derivación de un producto.

    (u.v)’ = u’.v +v’.u 

     

    Como , se tiene:

    o utilizando diferenciales:

    Ejemplo 4. 

    Tomamos:

    de donde: = 

     

    Ejercicio.3. Calcula 

    III) Integración por sustitución o cambio de variable.

    Proposición. Si F es una primitiva de f y h(x)=F(u(x))

    Demostración

    Se basa en la regla de la cadena. Si F es primitiva de f F’(x)=f(x) y h’(x)=F’(u(x)).u’(x) =f(u(x)).u’(x), usando la regla de la cadena,  luego h(x) es una primitiva de f(u(x))u’(x).Ejemplo 5. I=.

     

    Hacemos u=x3-1du=3x2dx       y sustituyendo

    I=

    Ejercicio 4. Calcula 

     

    Nota. Teniendo en cuenta la proposición anterior se puede ampliar la tabla de derivadas a funciones compuestas (hacerlo)

    Ejemplo 6. 

    Ejercicio 5. Calcula 

    IV). Integración de funciones racionales

    Son de la forma  donde P y Q son polinomios.

    El método para calcular este tipo de integrales supone que el grado del numerador es menor que el del denominador, luego en primer lugar, si esto no ocurre hay que hacer la división.

    , es decir  y como

    , el problema queda reducido al de  calcular ,y aquí siempre se verifica          grad R(x)< grad Q(x)

    Ejemplo 7. =

     

    Nota. Estudiaremos únicamente el caso en que el denominador tiene todas las raíces reales y distintas.

    Si x1, x2, ......xn son las raíces de Q(x) se verifica:

    donde A1, A2,....., An  son números reales que hay que determinar

    Ejemplo 8. Consideremos  

    Igualando a cero el denominador:

    Las raíces son 0 y 

     

    Luego descomponiendo la fracción en fracciones simples, se tiene:

    y se trata de calcular  estas constantes.

    Se tiene, efectuando la suma e igualando los numeradores,

    x+1= A1(x-2)(x+3)+A2x (x+3)+ A3x(x-2)

    Teniendo en cuenta que los dos polinomios son iguales, tomarán los mismos valores en todos los puntos, en particular:

    Para x=0               0+1=A1(-2)(3)A1=-1/6

    Para x=2               2+1= A2.2.5  A2 =3/10

    Para x=-3              -3+1=A3(-3)(-5) A3=-2/15

    Luego  =

     

    Nota. Para el cálculo de las constantes hay otro método más general, el de los coeficientes indeterminados, pero en el caso de las raíces simples y distintas este es mejor.

    Ejercicio. 6. Calcula: a); b) 

    c) 

     

     

     con este video podremos entender un poco mas la antes mencionado 

     https://www.youtube.com/watch?v=8QccEGEBBTM

    https://www.youtube.com/watch?v=laUVyxa4WHo

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